振り子の法則を検証してみた

以前から何となく、多自由度バスレフ型という形式のビジュアルなモデルを作ってみたいと思っていました。
頭の良い人ならすぐに思いつくでしょうが、自分の場合は何事にも時間掛かるタイプなので、なかなか思いつきませんでした。
最近思いついたのでそのうち何かディスプレイ用のモデルを作ってみようかと思います。
そのためには、まず、単純モデルから検証しなければなりません。というところで、遠い昔に小学校で最初に習った振り子の法則を思い出しました。この法則というのを学校で習った記憶がある人は多いと思います。

　自分の記憶では、小学校の先生は以下のようなことを説明していました。

『振れ角や錘の重さ（正しくは質量のこと）に関係なく周期は、振り子の長さだけで決まる』

　しかし、私は、これはその頃から間違いを感じていました。授業では、簡単な実験もしたように思いますが、大きく振れば、小さな振れの場合とは、周期が違いました。
先生の説明と実験事実との間に乖離があることについて、特に文句は言いませんでしたが、こういう説明には違和感を感じていました。

　そして、時は流れ、高校の物理で教わってようやくそのことを知ることができました。
単振子の運動方程式を解くためには、振れ角θが、sinθとほぼ等しい範囲であることが必要です。
そして、高校では、この条件が成り立つ範囲においての運動方程式しか解くことはなく、大学でもそれ以上はやりませんでした。大学でやらない理由は、通常は、振れ角の大きな振り子を使うことはないし、自分でできるから、という前提に基く方針なのでしょう。

　しかし、小中学校やテレビ番組などでこういう説明をするときはθ≒sinθと見なせる場合に限ることを説明しません。だから、前述の小学校の先生は、おそらく本当のことを知らなかったのでしょう。それに、特に物理に拘る人以外は、振れ角と周期とは関係ないと信じているかもしれません。このように、前提条件抜きで結果だけ記憶しているのは、詰め込み教育の弊害と思います。真実を知るより、目の前のスコアを稼ぐことに重点を置いてしまうと、このような過ちをおかしがちです。

　そこで、今回は、単振子の運動方程式を解いてみました。
　まずは、高校物理で教わる線型運動方程式モデルです。

振れ角が小さいことを数式で表すと、

かつ

振り子の運動方程式は、

うなわち

ただし

ここで、初期条件を、t=0において

とすると、解は、

となります。
これは、高校の物理で教わっています。

次に、振れ角が大きな場合のモデルを解いてみます。

初期条件においては、錘を水平方向に引っ張って止めているため、次式のようになります。

ところが、錘を解放すると、水平力がなくなるため、Tは変わります。そして、円周方向に錘は移動いてゆきます。すると、錘を解放したときの運動方程式は、次式のようになるはずです。

これが運動方程式ということになります。これは、解析的に解くのは面倒そうです。
そこで、差分式を導いてみます。

漸化式表現に変換すると

ここで、初期条件は、下記のとおりです。

初期条件に対して、漸化式として角変位を計算してゆくことができます。
ここで、gは重力加速度で定数ですが、振り子の長さlと差分式の時間の刻み幅δは、自分で決めなければなりません。したがって、ここでは、
δ=0.01[s]
l=1[m]
g=9.81[m/s2]
として、LibreOffice Calcを使って計算してみました。

続きます。